通过具体的例子说明矩阵一维和二维的相关运算、卷积运算究竟是怎么做的

在图像处理中，大量的算法中用到的运算其实都是相关运算和卷积运算。
所以，我们很有必要知道相关运算、卷积运算究竟是怎么做的。
本篇博文通过具体而简单的例子向大家说明相关运算、卷积运算究竟是怎么做的。

01-一维相关运算
下图显示了一维序列n与窗口序列w作相关运算的过程。

上图中，要进行两个序列的相关运算，先移动w使其锚点与序号n最左侧的点重合，如图中b所示。锚点通常取中心点，锚点的概念见我的另一篇博文 https://www.hhai.cc/thread-177-1-1.html
需要注意的是，此时，这两个序列之间有一些点未重叠，为处理该问题，需要对序列f的边界作扩展处理，这就是我在博文https://www.hhai.cc/thread-178-1-1.html中提到的边界扩展问题。
在这里我们对序列n的边界作填充0的扩展，以保证在w通过n的整个过程中，始终存在对应的点，如图中c所示。
准备工作做好后，现在开始进行相关运算。
相关运算结果的第一个数是在图c所示位置上两个序列对应位置乘积的累加和，图中也计算出了结果为28。
接着将w向右移动一个位置并再次计算乘积的累加和，如图d所示，此时得到相关计算结果为38。
重复上述过程，直到图g，即可全部计算出所有的相关计算结果值。
最终的相关计算结果为：28 38 44 50 26
用Matlab代码验证如下：

1. clc
   
2. close all
   
3. clear all
   
4. 
   
5. n1 = [5 6 7 8 9];
   
6. w1 = [1 2 3];
   
7. result1 = imfilter(n1, w1, 'corr', 'same');

复制代码

运行结果如下：

可见，运行结果与我们手工计算的结果一致。

02-一维卷积运算
一维卷积运算与一维相关运算过程一样，只是在运算前将窗口序列w先旋转180度。
整个过程如下面所示，由于过程与一维相关运算过程基本一样，所以就不再赘述。

从上面的图来看，最终的卷积运算结果为：
16 34 40 46 42
用Matlab代码验证如下：

1. clc
   
2. close all
   
3. clear all
   
4. 
   
5. n1 = [5 6 7 8 9];
   
6. w1 = [1 2 3];
   
7. result1 = imfilter(n1, w1, 'conv', 'same');

复制代码

运行结果如下：

可见，运行结果与我们手工计算的结果一致。

03-二维相关运算
将一维相关运算中的序列变成二维序列，容易得到二维序列的相关运算。
设有二维序列N(x,y)：

和窗口W(x,y)：

现对N(x,y)作窗口为W(x,y)的二维相关运算，
并令W的中心点(2,2)为锚点。
则结果的第1行第1列的元素的值是下面这两个矩阵对应元素的乘积的和：



所以相关结果的第1行第1列的元素的值的计算式为：
010+011+012+013+114+215+016+417+518=202
其它相关结果同样的计算方法可算得。
比如第2行第3列是下面这两个矩阵对应元素的乘积的和：



所以相关结果的第2行第3列的元素的值的计算式为：
210+311+012+513+614+015+816+917+018=483
用MATLAB验证一下我们的手工计算结果，代码如下：

1. clc
   
2. close all
   
3. clear all
   
4. 
   
5. N = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
   
6. W = [10 11 12;13 14 15;16 17 18];
   
7. 
   
8. result1 = imfilter(N, W, 'corr', 'same');

复制代码

运行结果如下：

可见，运行结果与我们手工计算的结果一致。

04-二维卷积运算
二维卷积运算与二维相关运算基本一致，只是运算前将窗先旋转180度，再作相关运算，这样得到的结果就是二维卷积运算。
这里有个小技巧，一个二维矩阵旋转180度，实际上等效于把最后一行变成第1行，第1行变成最后一行，然后每一行再调个头。当然从镜像的角度来讲等效于先作一个水平镜像,再作一个垂直镜像。
这里我们直接用MATLAB代码验证上面这段叙述。

1. clc
   
2. close all
   
3. clear all
   
4. 
   
5. N = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
   
6. W = [10 11 12;13 14 15;16 17 18];
   
7. W_180 = [18 17 16;15 14 13;12 11 10]
   
8. 
   
9. result1 = imfilter(N, W, 'conv', 'same');
   
10. result2 = imfilter(N, W_180, 'corr', 'same');

复制代码

上面代码的运行结果如下：


从上面的运行结果可知，result1与result2的结果相同，说明我们的理解和叙述是正确的。

至此，大家应该很清楚的知道了一维相关运算、一维卷积运算、二维相关运算、二维卷积运算是怎样运算的了吧。